포아송 분포(Poisson Distribution)

정의

$$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\\ mean, variance = \lambda $$

주어진 시간간격 안에 베르누이 시행이 성공한 횟수를 확률변수 X로 정의하여 표현하는 이산 확률 분포이다.

• 확률 변수 X의 경우 한번도 성공하지 못할 수 있고, 무한히 성공할 수 도 있기 때문에 다음과 같은 집합을 갖는다. X : {0, 1, 2, 3, …, n, …}
• 시간 간격에 종속적인 특징을 갖고있다. 시간 간격이 넓을 경우 성공횟수가 많아질 수 있고, 반대로 시간 간격이 좁을 경우 성공횟수가 줄어들 수 있다.
• 포아송 분포의 핵심 파라미터는 $\lambda$ 로 포아송 분포의 평균과 분산을 의미한다.

포아송 분포 활용 예시

• 1시간에 은행에 업무를 보러 입장한 사람의 수를 확률 변수 X로 두어 포아송 분포로 표현할 수 있다.
  • 은행의 한 지점에서 10분 당 몇명이 사람이 입장하는지 관찰하여 평균 값 $\lambda$를 구한다.
  • 은행원은 10분 당 한 명의 고객의 업무를 처리할 수 있다.
  • 기다리는 고객이 3명이 넘지 않도록 하는 확률이 95% 되도록 만들고 싶은 경우 아래와 같이 계산할 수 있다.(1명은 서비스를 받고 있고, 3명은 대기하고 있는 상태)
  • $$ P(X \geq 5) = \sum_{k=5}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} < 0.05 $$